今日はお勉強です。いつか出した問題の答え書いてないなと思って。


　ａ²＋ｂ²＝ｃ²

のとき、ａｂｃ全てが整数解(＞０)となる条件を求めよ。

　とかいう問題だった気がする。いわゆるピタゴラス数と呼ばれるもので、つまり直角三角形の３辺全てが整数になる数ということだ。有名なのに｢３、４、５｣の組み合わせがある。
　とにかくクソ難しいなこれ。整数解になるという事は、これをさらに細かい因数分解式で持って右辺と左辺を等しくしなければいけないわけだ。ａとｂ共に２乗で、ｃの二乗だけ単独で右辺に存在するので、この式を成立させるには左辺側にマイナス式が存在すると考えられる。そこで、ｍとｎという変数を設定し、とりあえずａを分解する。

ａ＝ｍ−ｎのとき、
ａ²＝ｍ²−２ｍｎ＋ｎ²

このとき、ｂ＝ルート(４ｍｎ)　ならば、
ｃ²＝ｍ²＋２ｍｎ＋ｎ²
ｃ＝ｍ＋ｎ

　と与えられる。しかし、ｂが整数解にならないので全てをｍとｎを二乗してもう一回考える。

ａ＝ｍ²−ｎ²のとき、
ａ²＝ｍ⁴−２ｍ²ｎ²＋ｎ⁴

　ｂ＝２ｍｎであれば、

ａ²＋ｂ²＝ｍ⁴−２ｍ²ｎ²＋ｎ⁴＋４ｍ²ｎ²
ａ²＋ｂ²＝ｍ⁴＋２ｍ²ｎ²＋ｎ⁴

　ａ²＋ｂ²＝ｃ²より、

ｃ²＝ｍ⁴＋２ｍ²ｎ²＋ｎ⁴
ｃ²＝(ｍ²＋ｎ²)²
ｃ＝ｍ²＋ｎ²

　となり、つまり答えは、


ａ＝ｍ²−ｎ²
ｂ＝２ｍｎ
ａ＝ｍ²＋ｎ²
(ｍ、ｎは整数の変数で、ｍ＞ｎ＞０)

．．．．．という訳だ。ｍ＝２、ｎ＝１のとき｢３，４，５｣になる訳やね。じゃあもっと簡単な問題を出そう。

・・・・・
・・・・・
・・・・・
・・・・・←
・・・・・

問題＞図のような５×５の点を矢印の部分から直線で結ぶ(斜めとはみだし禁止)。一度通った点は通れない。この時全部の点を結べる時はその解を、或いは全部の点が直線では結べないと考える時はそれを証明しなさい。

ヒント：チェス盤を思い出せ。